高中数学竞赛大纲

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  高中数学竞赛大纲（修订讨论稿）

 

  中国数学会普及工作委员会制定

 

  （2006年8月）

 

  从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来，在"普及的基础上不断提高"的方针指导下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。

 

  为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

 

  近年来，新的教学大纲的实施在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论， 对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。

 

  本大纲是在《全日制普通中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的。《全日制普通中学数学教学大纲》指出："要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长；……在课内外教学中宜从学生的实际出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足他们的学习需求，发展他们的数学才能。"

 

  学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。

 

  教育部2000年《全日制普通中学数学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。"课堂教学为主，课外活动为辅"是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，使不同程度的学生在数学上得到相应的发展，并且要贯彻"少而精"的原则。

 

  高中数学联赛

 

  全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通中学数学教学大纲》。

 

  全国高中数学联赛（加试）在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

 

  1.平面几何

 

  几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

 

  三角形旁心、费马点、欧拉线；

 

  几何不等式；

 

  几何极值问题；

 

  几何中的变换：对称、平移、旋转；

 

  圆的幂和根轴：

 

  面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

 

  2.代数

 

  周期函数，带值的函数；

 

  三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

 

  递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；

 

  第二数学归纳法；

 

  平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

 

  复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

 

  多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

 

  n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；

 

  函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

 

  3.初等数论

 

  同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

 

  4.组合问题

 

  圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

 

  组合计数，组合几何；

 

  抽屉原理；

 

  容斥原理；

 

  极端原理；

 

  图论问题；

 

  集合的划分；

 

  覆盖；

 

  平面凸集、凸包及应用*。

 

  （有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。）

 

  注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过

 

  全国高中数学联赛加试

 

  全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：

 

  1.平面几何

 

  几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

 

  三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

 

  几何不等式。

 

  几何极值问题。

 

  几何中的变换：对称、平移、旋转。

 

  圆的幂和根轴。

 

  面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

 

  2.代数

 

  周期函数，带值的函数。

 

  三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

 

  递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

 

  第二数学归纳法。

 

  平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

 

  复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

 

  多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

 

  n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

 

  函数迭代，简单的函数方程*

 

  3. 初等数论

 

  同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

 

  4.组合问题

 

  圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

 

  组合计数，组合几何

 

  抽屉原理

 

  容斥原理

 

  极端原理

 

  图论问题

 

  集合的划分

 

  覆盖

 

  平面凸集、凸包及应用*

 

  注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

 

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