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中国大学生数学竞赛(数学专业类)大纲(一)

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  中国大学生数学竞赛(数学专业类)竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容,即,数学分析占50%,高等代数占35%,解析几何占15%,以下是圣才学习网为大家整理的数学分析部分具体内容,欢迎大家点击查看!

 

  数学分析部分

 

  一、集合与函数

 

  1. 实数集、有理数与无理数的稠密性,实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.

 

  2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界(无界)集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列,以及上述概念和定理在上的推广.

 

  3. 函数、映射、变换概念及其几何意义,隐函数概念,反函数与逆变换,反函数存在性定理,初等函数以及与之相关的性质.

 

  二、极限与连续

 

  1. 数列极限、收敛数列的基本性质(极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质).

 

  2. 数列收敛的条件(Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系),极限及其应用.

 

  3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质(唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性),归结原则和Cauchy收敛准则,两个重要极限及其应用,计算一元函数极限的各种方法,无穷小量与无穷大量、阶的比较,记号Oo的意义,多元函数重极限与累次极限概念、基本性质,二元函数的二重极限与累次极限的关系.

 

  4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质(局部有界性、保号性),有界闭集上连续函数的性质(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性).

 

  三、一元函数微分学

 

  1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法,微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.

 

  2.微分学基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).

 

  3.一元微分学的应用:函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达(L'Hospital)法则、近似计算.

 

  四、多元函数微分学

 

  1. 偏导数、全微分及其几何意义,可微与偏导存在、连续之间的关系,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式不变性,方向导数与梯度,高阶偏导数,混合偏导数与顺序无关性,二元函数中值定理与Taylor公式.

 

  2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数(组)求导方法、反函数组与坐标变换.

 

  3.几何应用(平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线).

 

  4.极值问题(必要条件与充分条件),条件极值与Lagrange乘数法.

 

  五、一元函数积分学

 

  1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法(直接积分法、换元法、分部积分法)、有理函数积分:型,型.

 

  2. 定积分及其几何意义、可积条件(必要条件、充要条件:)、可积函数类.

 

  3. 定积分的性质(关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理)、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.

 

  4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法(比较原则、柯西判别法)、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.

 

  5. 微元法、几何应用(平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积),其他应用.

 

  六、多元函数积分学

 

  1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算(化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换).

 

  2.三重积分、三重积分计算(化为累次积分、柱坐标、球坐标变换).

 

  3.重积分的应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等).

 

  4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法,含参量广义积分的连续性、可微性、可积性,运算顺序的可交换性.

 

  5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.

 

  6.第二型曲线积分概念、性质、计算;Green公式,平面曲线积分与路径无关的条件.

 

  7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算,奥高公式、Stoke公式,两类线积分、两类面积分之间的关系.

 

  七、无穷级数

 

  1. 数项级数

 

  级数及其敛散性,级数的和,Cauchy准则,收敛的必要条件,收敛级数基本性质;正项级数收敛的充分必要条件,比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式;交错级数的Leibniz判别法;一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.

 

  2. 函数项级数

 

  函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法(M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法)、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.

 

  3.幂级数

 

  幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间,幂级数的一致收敛性,幂级数的逐项可积性、可微性及其应用,幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.

 

  4.Fourier级数

 

  三角级数、三角函数系的正交性、22周期函数的Fourier级数展开、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.

 

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