您当前位置: 圣才学习网首页 >> 数学竞赛类 >> 思维引导

思维引导之钟面算术问题的解答

扫码手机阅读
用圣才电子书APP或微信扫一扫,在手机上阅读本文,也可分享给你的朋友。
评论(0


  圣才学习网为大家整理了钟面算术问题的解答方法,欢迎大家点击查看!

 

  这类问题与整数同余问题(尤其是模1260同余)密切相关。因此对于同余概念理解有好处。

 

  例1:从早8时至晚8时,钟表的(a)时针和分针有多少次重合;(b)时针和分针有多少次相交成直角。

 

  例2:一位修表工人误将一只表的时针和分针装成了一样的,有些情况下表的主人根据两个表针的位置就可以确定哪个是时针,哪个是分针。有些情形则无法确定,试问(a)什么情形下无法确定哪个是时针?b)从早6时至晚6时,无法确定哪个是时针的情况发生多少次?

 

  例3:证明除了12点整之外,时、分、秒三针不可能重合。

 

  例4:二时整,时针与分针交成60°角,问再过多少时间时针与分针又相交成60°角。

 

  解答:

 

  例1,(a)依常识,时针走一格(一小时),分针走一圈,一格为一周的1/12,故分针的速度是时针的12倍,设时针指向x格(即x时)时两针重合,令[x]表示x的整数部分,(x)表示x的小数部分,即x[x]+(x),[x]是整数,0≤(x<1,例如[1.5]1,(1.5)=0.5,那么12x)=x[x]+(x),11·(x)=[x]

 

   

 

  时12小时中重合11次。

 

  (b)每次重合前后15分钟多一点,两针交成90°,由于重合11次,故共有22次交成直角。

 

  例2,(a)显然当两针重合时不能确定哪一个是时针,但这远不是全部,设一针指向x,另一针指向y,并设此时无法根据针的位置区别那个是时针,沿用例1的记号,xy应满足下面的关系式

 

  12·(x)=y1)(以指向x的针为时针)及12·(y)=x2)(以指向y的针为时针)

 

  xy均以钟面上1小时(时针)为单位。(1)、(2)两式可解释为:由于时针角速度为分针角速度的1/12,故分针与12时的夹角等于时针与最接近的整点夹角的12倍。例如120分时,时针与1点的夹角为10度,而分针与12点的夹角为120度。

 

  (b),(a)中(1)式两端12倍,加上(2)式,得144x)+12y)=12·yx,整理得143x)=12[y][x]3

 

  (3)式的右端是整数,故143·(x)是整数对于从011的任意一对[x][y],可求得唯一的(x)和(y),若要[x][y],共有132个不同的[x][y]对,此时两针不会重合。若取[x][y]则不难算出(x)=(y)此时两针重合,由(a)知此种情况在12小时内出现11次。综上述,当时、分针形状相同时,仅根据它们的位置无法判定哪个是时针的情况在12小时内出现13211143次。

 

  例3,由于分针角速度是秒针角速度的1/60故从

 

   

 

  分、秒三针不可能重合。

 

  例4,二时整,时针与分针交成60°,由例1,再过2/11小时时针与分针重合,再过同样长时间,时针与分针将再度交成60°角,此时的时间大约是22149秒。

 

  编辑推荐:

 

  欢迎扫以下二维码,扫码后分享到朋友圈并下载APP,登录即可领取现金红包。

 

  


学科竞赛类电子书(题库)

查看全部>>

小编工资已与此挂钩!一一分钱!求打赏↓ ↓ ↓

如果你喜欢本文章,请赐赏:

已赐赏的人
最新评论(共0条)评论一句