您当前位置: 圣才学习网首页 >> 数学竞赛类 >> 思维引导

思维引导之费尔马数

扫码手机阅读
用圣才电子书APP或微信扫一扫,在手机上阅读本文,也可分享给你的朋友。
评论(0


  1640年,被后人称为“业余数学家之王”的法国数学家费尔马考虑了这样一种类型的自然数Fn

 

  Fn22n1

 

  他验算了Fnn01234时的值:

 

  F03F15F217F3257F465537

 

  它们都是素数。可能是由于F54294967297数值太大,费尔马没有继续验算,就在给另一位法国业余数学家默森尼(MersenneM.15881648)的一封信中断言:Fn对一切自然数n都给出素数。后来人们就称这种数为费尔马数。

 

  然而,1732年大数学家欧拉指出:F5是合数,而且可以分解为:

 

  F5641×6700417

 

  因此,费尔马的猜测是错误的。欧拉还证明,不论Fn是否为素数,其素因数一定为k·2n11型,其中k为正整数。尽管如此,由于费尔马数奇特的形式与美妙的性质,后世数学家对它仍充满了兴趣。1877年,法国数学家吕卡(LucasF.-E.-A.18421891)改进了欧拉的结果,证明:Fn的每个素因数都为k·2n21型,其中k为正整数。同年,数学家皮平(PepinT.)给出了一个强有力的判别法: Fn为素数的充要条件是: Fn整除3Fn-1/21。此后,一系列费尔马数相继被证明是合数:1878年,俄国数学家证明F12有因数7×2141114689F23有因数5×22511677721611880年,兰德瑞(Landry)发现

 

  F6274177×67280421310721

 

  其中 2741771071×28167280421310721262814145745×2811886年,西尔霍夫(Seelhoff)证明:F36能被10×23812748779069441整除。只要想象一下F36的位数竟然超过了200亿、把它印成一行铅字将比赤道还长,就可以知道在当时这是一件多么令人吃惊的工作了,分解Fn的工作极为困难。例如,虽然人们在1905年已经证明有39位数的F7是合数,但直到1971年才借助电子计算机成功地将其分解为两个分别具有17位数字和22位数字的素数之积。1909年已经知道F8是合数,但直到1981年才发现了它的一个因数,而1963年已被证明是合数的F14,至今尚未求得任何因数。

 

  迄今为止,人们已经发现了80多个费尔马合数,其中最大的F23471约有3×107067位数字。但是,除了当年费尔马本人发现的5个费尔马素数以外,却连一个新的这种素数也没有发现。人们既不知道还有没有别的费尔马素数,也不知道它们的个数是有限还是无限的。人们同样也不知道在费尔马数中是否存在无穷多个合数。

 

  费尔马数有许多奇妙的性质,而最出人意料的是它与正多边形作图的密切联系。1801年,高斯在他的名著《算术研究》中证明:一个正n边形可以按尺规作图的严格规定作出的充要条件是:n2kk234…),或者n2m·P1P2pr,这里m0,而p1p2……pr是不同的费尔马素数。根据这一定理,当边数不超过100时,可以尺规作图的正多边形只有24种,即当n分别取以下数值时:

 

  

 

  1832年,德国数学家里歇特(Richert. H.E.18081875)解决了正257边形的作图,其过程写满了80页纸。后来,又有一位数学家穷10年之功解决了正65537边形的作图,据说其手稿可以装满一只手提箱,真可谓世界上最烦琐的尺规作图题了。

 

 编辑推荐:

 

  欢迎扫以下二维码,扫码后分享到朋友圈并下载APP,登录即可领取现金红包。

 

  


学科竞赛类电子书(题库)

查看全部>>

小编工资已与此挂钩!一一分钱!求打赏↓ ↓ ↓

如果你喜欢本文章,请赐赏:

已赐赏的人
最新评论(共0条)评论一句