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5^2=25这样的算式有多少个?

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  或许有人会对算式 5^2 25 有一种特别的偏好——等式左右两边都用到了相同的数字,让人深感奇妙。类似的算式还有很多,例如

 

  5^6 - 2)= 625

 

  (4 / 2^10 1024

 

  ((86 2 * 7^5 - 91 / 3^4 123456789

 

  我们自然而然地提出了这样一个问题:这样的算式究竟有多少呢?答案是:无穷多。只需要借助本文一开始提到的算式 5^2 25 ,我们就能轻易构造出无穷多个同样满足这种神奇性质的算式来:

 

  50^2 0 2500

 

  500^2 0 0 250000

 

  5000^2 0 0 0 25000000

 

  ......

 

  现在,让我们来看看另一类更加精妙的算式:等式两边的数字顺序也完全一样!

 

  - 1 2^7 127

 

  (3 4^3 343

 

  16^3 * 8 - 4)= 16384

 

  这样的算式是否仍然有无穷多个呢?

 

  答案仍然是肯定的,并且有趣的是,它的构造仍然可以由经典算式 5^2 25 扩展得到。把前面提到的 50^2 0 2500 稍微改造一下,我们便可以得到一个两边数字顺序也相同的等式:

 

  2 50^2 2502

 

  它可以继续衍生出无穷多个满足要求的式子:

 

  2 +(500 0^2 250002

 

  2 +(5000 0 0^2 25000002

 

  2 +(50000 0 0 0^2 2500000002

 

  ......

 

  由此可见,即使要求等式两边的数字顺序也一模一样,符合要求的式子依旧有无穷多个。

 

  不过,上面这些构造都只在十进制中成立。在其它进制下,这种算式还是无穷多的吗?上个月的 UyHiP 谜题中就讨论了这个有趣的话题。事实上,我们只需要一个巧妙的构造就可以说明,在所用进制中,这种算式都有无限多。考虑算式

 

  (m 9/9 * 9 9/9^9 9/9- 9/9

 

  =(m 1 * 10^10 - 1

 

  = m * 10^10 9999999999

 

  显然对任意正整数 m ,等式最左边和最右边所用的数字(包括顺序)都完全相同。我们很容易对这个式子进行改造,使它适用于任一进制。例如,为了得到一个八进制下的公式,只需要把式中的 9 全部换成 7 ,然后把指数部分改为 77 7/7 7/7 7/7 ...。注意到每添加一个 7/7 将使得算式中多出两个 7 ,但计算结果中只会多出一个 7 。因此,只要初始时把指数设为一个比算式中已有 7 的数目更大的数(比如 77 ),在其后面不断添加 7/7 ,总有一个时候计算结果和算式中数字 7 的个数恰好一样多。

 

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