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数学名家之张益唐

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  张益唐所做的工作通常被称作“素数间的有界距离”,是“孪生素数”猜想证明的弱形式。

 

  所谓“素数”,又称“质数”,是指只能被1和它本身整除的数字,例如:2357等等。但随着数字增大,素数在数轴上的分布越来越稀疏。想像一条数轴,普通数字是绿色的,素数是红色的。轴线开始时有许多红色的数字:235711131719232931414347,它们都是小于50的素数。在1-100之间有25个素数,11000之间有168个素数,1100万之间有78498个素数。素数越来越大时,它们变得越来越稀少,素数与素数间的平均距离越来越大。那么,相邻两个素数之间的距离是否是有限的呢?特别是当数字趋于无穷大时,一个数字的位数之多需要一本书的厚度才能写下,此时是否还能找到相邻的两个素数呢?

 

  没有一个方程式可以预言素数的分布特征——它们看起来非常随机。欧几里得在公元前300年证明存在无穷多个素数,但并没有证明两个素数之间的距离可能是多远。他曾大胆猜想:存在无穷多对之差为2的素数。由于人们把这种素数对称为“孪生素数”,如(35),(1113),因此这一猜想被称作“孪生素数猜想”。

 

  1849年,法国数学家阿尔方•波利尼亚克提出了更一般的猜想(即“波利尼亚克猜想”):对所有正整数k,存在无穷多个素数对(pp2k)。k1时就是孪生素数猜想,而k等于其他正整数时就称为弱孪生素数猜想。

 

  1900年,德国数学家大卫•希尔伯特在巴黎举行的第2届国际数学家大会上发表题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是19世纪数学的研究成果和发展趋势,提出了23个最重要的数学问题(通称“希尔伯特问题”);孪生素数猜想是希尔伯特问题的第8个的一部分(和“孪生素数猜想”一起被提出的,是著名的“哥德巴赫猜想”和“黎曼猜想”)。

 

  张益唐的论文《素数间的有界距离》就是“孪生素数猜想”的弱化版,他证明了在数字趋于无穷大的过程中,存在无穷多个之差小于7000万的素数对。

 

  此前最接近证明孪生素数猜想的一次努力,是圣何塞州立大学的教授丹尼尔•戈德斯通(Daniel Goldston)、布达佩斯阿尔弗雷德•莱利(Alfréd Rényi)数学研究所研究员平兹(János Pintz)和伊斯坦布尔海峡大学的伊尔迪里姆(Cem Yildirim)教授于2005年共同开展的一项工作。不过,一直到2011年,关于孪生素数猜想的研究仍没有取得任何进展。Goldston认为,他在有生之年可能都看不到答案,“我曾以为解开这个难题是不可能的了。”

 

  尽管张益唐得到的7000万这个结果看起来与2还有很大差距,但国际数学界公认这是一项伟大的成就。英国《自然》杂志称张益唐的工作为一个“重要的里程碑”。美国数学家丹尼尔•戈德斯通说:7000万到2的距离相比从无穷大到7000万的距离来说是微不足道的。”他认为,每缩小一段范围,都是在获得终极答案(k1)道路上的一个脚印。

 

  “你必须想像这完全是从无到有,”麻省大学波士顿分校的数学系主任埃里克•格林贝格(Eric Grinberg)说。“我们确实不知道。这就像我们以为宇宙无限大,没有界限,却发现它在某个地方存在终点。”想象有一把度量绿色与红色数字的尺子。张益唐选择了一把长度为7000万的尺子,因为这么大的数字更容易证明他的猜想。(如果他已能证明孪生素数猜想,这把尺子的长度就是2。)我们可以拿这把尺子沿数轴移动,无数次地将两个素数圈起来。但圈住无穷多个数不一定就是圈住了所有的数,因为有一些情况,比如有无穷多个数是偶数,但还有无穷多个数是奇数。同样道理,这把尺子也能沿着数轴移动无数次时,但圈不到两个素数。

 

  从张益唐的结果来看,他的推导是成立的,存在无穷多个之差小于7000万的素数对。接受《纽约客》采访的一位数学家解释说,这是根据鸽巢原理推出的。假设有7000万个鸽巢和无穷多只鸽子,每只鸽子代表一个素数对。把之差为2的素数对(鸽子)放进一个鸽巢,之差为3的放进另一个鸽巢,以此类推,把所有间隔不同的素数对(鸽子)都放进一个鸽巢。最后,会有放了无穷多只鸽子的鸽巢,但无法知道具体是哪一个鸽巢有无穷多只鸽子,不过至少有一个鸽巢里有无穷多只鸽子。

 

  发现存在无穷多个素数对的那个最大的素数间隔后,张益唐对找到间隔的最小数并不感兴趣。他觉得这种工作纯粹只是个技术活,一种体力劳动——一位杰出的数学家把这种行为叫做“追赶救护车”。

 

  不过,张益唐研究成果面世不到一周,就引来全世界数学家的围观,他们竞相刷新这个最小距离数。围观者当中就有31岁即获得“菲尔茨”奖(数学界的最高荣誉)的著名数学家陶哲轩(Terence Tao,生于澳大利亚的华人家庭),他现在是加州大学洛杉矶分校的教授。他希望建立一个合作项目,让数学家一起工作去寻找更小的数字,而不是“抢夺领先的位置”。

 

  他建立的这个项目名为Polymath-8(博学者8号难题),于20136月正式启动,持续了大约一年时间。凭借英国一位年轻数学家James Maynard的贡献,项目参与者逐渐将无穷多个素数的差缩减到246。但“数字减小的同时也发现一些问题,”陶哲轩说,“需要越来越多的计算机资源——有人为了做一个计算要让一台高性能的计算机运行两周。此外也有些理论上的问题。用现在的方法,我们不可能得到比6(译者注:即k3)更好的数字。因为存在奇偶校正问题,没有人知道如何绕过这个槛。” 陶哲轩说:“我们并没有强烈地认为,我们可以把数值减小到2,从而证出孪生素数猜想,但这是段有趣的旅程。”

 

  张益唐的方法,本质上是筛法,而筛法的一大问题,是所谓的“奇偶性问题”。巴黎高等师范学院学者方文杰撰文介绍称,简单来说,如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子,那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合,恰好属于这种类型。要想打破奇偶性问题的诅咒,可以将合适的新手段引入传统筛法,藉此补上筛法的缺陷。张益唐的出发点——之前提到的GoldstonPintzYildirim的结果——正是这种新思路的成果。

 

  当张益唐在办公室被问到当时是如何找到解开问题的钥匙的。他在白色黑板上写下:“Goldston-Pintz-Yildirim”和“Bombieri-Friedlander-Iwaniec”。他说:“第一篇论文是关于有界距离的,第二篇是关于在等差数列中的素数分布的。我把这两篇论文做了比较,加上我自己的创新,这些创新是基于我在图书馆多年阅读而来的。”

 

  普林斯顿高等研究院(IAS)教授、2014年沃尔夫奖得主彼得•萨纳克(Peter Sarnak)在谈到张益唐是如何取得现在的结果时说:“他所做的事看起来都遥不可及。这个问题在40年前或许毫无希望,但2005年,Goldston-Pintz-Yildirim三人的工作使这个问题有了解决的曙光,让每个人都觉得已经非常接近结果了。但直到2011年,都还没人取得任何进展。BombieriFriedlanderIwaniec(伊万尼克,解析数论大师)做了其他方面的重要研究,但似乎无法将他们的成果与此前Goldston的研究联系起来。因为他们的研究不够灵活——带有某些附加条件。然后张益唐出现了。

 

  很多人像使用电脑那样使用定理。他们认为,如果定理是正确的,那很好,我就可以用它。但是你不能使用Bombieri-Friedlander-Iwaniec的工作,因为它不够灵活。你得相信我的话,因为即便对一个认真的数学家来说,这也很难解释。张益唐对技巧理解得足够深刻,所以他才能够修正Bombieri-Friedlander-Iwaniec的工作,跨越这个门槛。这是他对数学最重要的贡献。他将Bombieri-Friedlander-Iwaniec对素数分布的分析技术改进成研究任何种类的素数的工具。始于18世纪的理论因他而得到了进一步发展。”

 

  “我们的条件需要放宽,”伊万尼克说,“我们尝试过,但是我们无法去掉这些条件。我们尝试的时间不长,因为失败后你就开始思考是不是存在一些天然的屏障,所以我们放弃了。”

 

  当他被问到对张益唐的结果是否感到意外时,伊万尼克说:“张益唐的工作很轰动”,“他的工作是绝无仅有的。谈起数论,有大量的美是(钟表般)精密的。某种程度上,张益唐对解决问题的形势完全心知肚明,即便他独自一人工作,这是他惊喜的原因,随后他就令人惊讶地改进了那些论文中的参数。”

 

  张益唐利用的筛法是一种非常复杂的寻找素数的形式。筛法是阿基米德时代的希腊数学家埃拉托色尼(Eratosthenes)发明的。其方法是,比如要找出1000以内的素数,就要写下所有的数字,然后划掉2的倍数,再划掉3的倍数,5的倍数,直到31的倍数后就只剩下素数了。在“埃氏筛法”后,有一些数学家陆陆续续做过一些改进。

 

  而张益唐使用的筛法不同于别人用过的筛法。随着素数间隔的增大,先前的筛法网出的素数对的间隙越来越大,因为他们用来估计的不等式参数不精确。Goldston-Pintz-Yildirim三人用先前的筛法已经证明,存在无穷多个素数对,它们之间的距离总是小于连续素数的平均距离,但不能确定这个距离是多少。张益唐部分成功地精细化了筛法的选择性。

 

  人物百科

 

  张益唐(1955-),华人数学家。祖籍浙江省平湖市 ,出生于上海。1978年考入北京大学数学系,1982年本科毕业;19821985年,师从著名数学家、北京大学潘承彪教授攻读硕士学位;1992年毕业于美国普渡大学,获博士学位;目前,在美国新罕布什尔大学任教。

 

  张益唐于2013417日向《数学年刊》(Annals of Mathematics)投稿证明存在无穷多对素数相差都小于7000万的论文《Bounded gaps between primes》。同年521日,该篇论文被《数学年刊》接受。

 

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