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思维引导之神奇的卡氏数

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  卡氏数的神奇之处在于,把它的平方数截成两个相同位数的自然数,如果平方数是奇位数的话,就在数首补上,凑成偶数之后再截取,截成的两个数的和,仍然等于原来的数。

 

  我们时常能在路边看到破损的路标或者广告牌,有的是文字缺损了,变成了另外一个名字,比如,好利超市,化身为“女禾召币”。这样的情况,大家要么视而不见,要么是遇到有意思就会心一笑,也就过去了。不过,有一个叫卡布列克的数学家,人家真是有数学敏感性,在一个指示牌上都发现了奇妙的数学现象。

 

  话说,有一天卡布列克偶然经过一条铁路道,瞥见铁路旁边的里程指示牌,上面写着3025公里。但是因为受到了龙卷风的影响,指示牌被拦腰折断,3025这个四位数也被一分为二,3025

 

  身为数学家,卡布列克对数字有着常人不及的敏感和直觉,开始琢磨起来,是哪里这么奇怪呀?突然,灵光一闪,302555,而5523025,原数又再次显现出来了。

 

  这些自然数,把它的平方数截成两个相同位数的自然数,如果平方数是奇位数的话,就在数首补上,凑成偶数之后再截取,截成的两个数的和,仍然等于原来的数。形象地说,即把它拦腰切断,再揉合(加)一起,最后只要翻个身(自乘),便又毛发无伤地在我们面前展示自己了。

 

  发现了这一特性之后,卡布列克开始专门搜集这类数字,人们把这种奇怪的数字称作“卡布列克数”,简称为“卡氏数”,或是“分和累乘再现数”,形象地点出了这类数的奇异。

 

  渐渐,还有其他“卡氏数”被发现,比如:2025——20254545220259801——981999929801……不仅在四位数中,其他位数的数也有,美国数学家亨特就发现了一个八位数的卡氏数:60481729——6048172977777777260481729

 

  这种奇妙的现象,激起了人们的浓厚兴趣,并在茫茫数海中把它们一一择出来:

 

  一位:19

 

  二位:455599

 

  三位:297703999

 

  四位:4950505027287272222377779999

 

  五位:2222277778999999

 

  六位:499500500500999999;


  ......

 

  仔细观察,这其中的数字还有奇妙之处,把999999999...这些数由同一个数字9组成的数排除在外,在各个位数组中出现的数都是偶数个,而且每一对之和都是10n次方,例如:一位数里面的1919101;二位数里面的45554555102;而三位数里面的297703103……

 

  得到这个结论之后就可以反推,如果一个自然数Bn位的卡氏数,那么,10n-B也是n位数的卡氏数,比如,当B2728时,位数n4,则10n-B72727272必是卡氏数。

 

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