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思维引导之梅森素数的探究

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  据瑞士媒体日前报道,世界上目前有190多个国家和地区近62万人,参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,并动用了超过114万台计算机联网来寻找梅森素数(Mersenne prime)。可见,梅森素数的探究异常火爆;这在数学史上是前所未有的,在科学史上也是极为罕见的。

 

  梅森素数之所以探究异常火爆,与其自身强大的吸引力是分不开的。众所周知,素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。2300年前,古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是素数)的形式。这种特殊形式的素数,具有独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

 

  17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森(Marin Mersenne)对“2^P-1”型的素数做过较为系统且深入的探究。为了纪念他,数学界就将这种素数称为“梅森素数”。迄今为止,人类仅发现48个梅森素数。这种素数稀奇而迷人,故被人们称为“数海明珠”。  梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其素性检验的难度就会很大;它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。1772年,享有“数学英雄”美誉的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是个素数。它具有10位数,堪称当时世界上已知的最大素数;此外,他还证明了欧几里德关于完全数定理的逆定理,从而表明梅森素数和偶完全数是一一对应的。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已;难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说:读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”,人们历尽艰辛,仅找到12个梅森素数。

 

  电子计算机的出现,大大加快了探究梅森素数的步伐。1952年,美国数学家拉斐尔?鲁宾逊将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序,使用大型计算机在短短几小时之内,就找到了5个梅森素数:2^521-12^607-12^1279-12^2203-12^2281-1。随着指数P值的增大,每一个梅森素数的产生都艰辛无比;而科学家及业余研究者们仍乐此不疲,激烈竞争。例如,在1979223日,当美国克雷研究公司的计算机专家戴维?史洛温斯基和哈利?纳尔逊宣布他们找到第26个梅森数2^23209-1时,有人告诉他们:在两星期前美国加州的高中生兰登?诺尔就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食,又花了一个半月的时间,使用超级计算机找到了新的更大的梅森素数2^44497-1

 

  人们在寻找梅森素数的同时,对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。英、法、德、美等国的数学家曾提出过有关梅森素数分布的猜测,但都以近似表达式给出,且与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中是这方面研究的领先者,他运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年率先给出了梅森素数分布的精确表达式。这一重要成果后来被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为,周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

 

  分布式计算技术的出现使梅森素数的寻找工作如虎添翼。1996年初,美国数学家、计算机专家乔治?沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序,并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用;它就是举世闻名的GIMPS项目,也是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目。现在人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95MPrime软件,就可以马上搜索梅森素数了。

 

  为了激励人们寻找梅森素数和促进分布式计算技术发展,总部设在美国旧金山的“电子前沿基金会”(EFF)于19993月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为:超过1000万位数,10万美元;超过1亿位数,15万美元;超过10亿位数,25万美元。

 

  19996月,住在美国密歇根州的数学爱好者那扬?哈吉拉特瓦拉通过GIMPS项目找到了第一个超过100万位的梅森素数2^6972593-1,他获得了5万美元的奖励。20088月,美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森?史密斯找到了第一个超过1000万位的梅森素数2^43112609-1,他获得了10万美元的奖励,其发现被著名的《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一;这一巨大素数有12978189位,如果用普通字号将它打印下来,其长度可超过50公里!

 

  2013 1月,美国中央密苏里大学数学家柯蒂斯?库珀找到了第48个梅森素数2^57885161-1;这个超大素数有17425170位,是目前已知的最大素数。美国数学学会发言人迈克·布林说,这个超大素数令数学家和计算机科学家感到兴奋。”他认为这是素数探究的一项重大突破。美国威斯康辛大学麦迪逊分校数学家乔丹·埃伦伯格说,发现一个梅森素数就像是在干草堆里找一根针那样困难。这项发现在计算机工程领域的价值要远大于数学领域的价值。”

 

  据悉,大多数研究者参与GIMPS项目不是为了名利而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。迄今为止,人们通过该项目已经找到14个梅森素数,其发现者来自美国(8个)、德国(2个)、英国(1个)、法国(1个)、挪威(1个)和加拿大(1个)。著名的《自然》杂志曾声称,GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数探究的热情,而且会引起人们对分布式计算技术应用的高度重视。

 

  梅森素数的探究在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效的途径。另外,寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段,如第34个梅森素数2^1257787-1就是美国克雷研究公司19969月在测试其超级计算机的运算速度时得到的。

 

  梅森素数的探究推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、程序设计技术和计算机检测技术的发展。梅森素数在密码学方面有着潜在的应用。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域,其原理是:将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难,但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中,需要使用较大的素数,素数越大,密码被破译的可能性就越小。另外,梅森素数的探究还推动了快速傅立叶变换的应用。

 

  许多科学家认为,梅森素数的探究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国牛津大学数学家马科斯?索托伊甚至认为,梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志,也是整个科技发展的里程碑之一。

 

  最后一提的是,素数有无穷多个,这一点早为欧几里德发现并证得。然而,梅森素数是否有无穷多个?这是一个千百年来悬而未解之谜;而揭开这一未解之谜,正是科学追求的目标。让我们以德国数学大师希尔伯特的名言来结束本文:我们必须知道,我们必将知道。”

 

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